解题思路：由圆的面积可求得圆的半径，再利用切线的性质作出垂直切线的半径，求扇形的半径，进一步可求出圆锥的表面积．
∵⊙O1的面积为4π，
∴⊙O1的半径为2，
连接O1D，OO1，
∵OA、OB是⊙O1的切线，
∴∠DOO1=[1/2]∠AOB=30°，∠ODO1=90°，
∴OO1=2O1D=4，
∴扇形的半径（圆锥的母线长l）OC=4+2=6．
AB=[1/3×π×6=2π，
当
AB]成为圆锥底面周长时，底面半径为r=（2π）÷（2π）=1，
所以圆锥的表面积为：πr（r+l）=3π．
点评：
本题考点： 切线的性质；圆锥的计算．
考点点评： 本题主要考查线线的性质及圆锥表面积的计算，注意圆锥的侧面与圆成圆锥的扇形的关系，即扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧长为圆锥底面圆的周长．