Question

设a为实数，函数f（x）=x3-x2-x+a．

Answer 1

解题思路：（1）函数连续可导，只需讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．

（2）曲线f（x）与x轴仅有一个交点，可转化成f（x）_极大值＜0或f（x）_极小值＞0即可．

（1）令f'（x）=3x²-2x-1=0得：x1=-

1

3，x2=1．

又∵当x∈（-∞，-

1

3）时，f'（x）＞0；

当x∈（-

1

3，1）时，f'（x）＜0；

当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0；

∴x1=-

1

3与x₂=（1分）别为f（x）的极大值与极小值点．

∴f（x）_极大值=f(-

1

3)=a+

5

27；f（x）_极小值=a-1

（2）∵f（x）在（-∞，-

1

3）上单调递增，

∴当x→-∞时，f（x）→-∞；

又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞

∴当f（x）_极大值＜0或f（x）_极小值＞0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点．

即a+

5

27＜0或a-1＞0，

∴a∈（-∞，-

5

27）∪（1，+∞）

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，属于中档题．