Question

全微分 偏微分 连续性举出相应的反例证明：对于一个多元函数,1）函数连续无法推出偏导数存在；2）函数可微无法推出偏导数连

Answer 1

1）函数

f(x,y) = √(x^2 + y^2)

在 (x,y) = (0,0) 连续但两个偏导数不存在；

2）函数

f(x,y) = (x^2 + y^2)sin[1/(x^2 + y^2)],x^2 + y^2 ≠ 0,

= 0,x^2 + y^2 = 0,

在 (x,y) = (0,0)可微但两个偏导数在 (x,y) = (0,0) 不连续.

注：这些问题高等数学不太深入讨论,但在数学类专业的数学分析中都会有的,可能以例题或习题的方式出现.