解题思路:由三角形的对称性,先找出其外接圆圆心在X轴上,再求出半径,进而求出面积及其极限值.
由题意可知外接圆圆心在X轴上,可设为O(a,0),则OA=OC,即OA2=OC2
∴a2+(−
2
n)2= [a−(4+
2
n)]2,
解得a=
4n+4
2n+1
∴O为(
4n+4
2n+1,0)
∴圆O的半径为OA=4+
2
n−
4n+4
2n+1=
4n2+4n+2
n(2n+1)
∴其外接圆的面积Sn=π• [
4n2+4n+2
2n2+n]2═π•[
4+
2
n+
2
n2
2+
1
n]2
∴
lim
n→∞Sn=4π.
故答案是4π.
点评:
本题考点: 极限及其运算.
考点点评: 本题的解答过程中,注意到先根据三角形的对称性找出外接圆圆心坐标,再进一步求解.