般来说,begin to do和begin doing可以互换,但在以下三种情况下,用to do：
1.主语不是指人,而是it等.如：It began to rain.
2.begin后接表示心理活动的词.如：begin to know
believe,wonder,think等.
3.begin本身是ing形式,为避免重复后接to do
即,beginning to do
P.S
doing 一般有正在做的意思
to do一般有正准备做的意思
所以doing 就是开始做了to do开始要做,还没做