Question

已知an=2n+3n，bn=an+1+kan，若{bn}是等比数列，则k=______．

Answer 1

解题思路：利用等比中项的性质可推断出（a_n+1+ka_n）²=（a_n+2+ka_n+1）（a_n+ka_n-1），整理后求得k的值．

因为{b_n} 是等比数列，故有

（a_n+1+ka_n）²=（a_n+2+ka_n+1）（a_n+ka_n-1），

将a_n=2ⁿ+3ⁿ代入上式，得

[2ⁿ⁺¹+3^n+1_+k（2ⁿ+3ⁿ）]²

=[2ⁿ⁺²+3^n+2_+k（2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹）]•[2ⁿ+3^n_+k（2^n-1+3^n-1）]，

即[（2+k）2ⁿ+（3+k）3ⁿ]²

=[（2+k）2ⁿ⁺¹+（3+k）3ⁿ⁺¹][（2+k）2^n-1+（3+k）3^n-1]，

整理得 [1/6]（2+k）（3+k）•2ⁿ•3ⁿ=0，

解k-=2或k=-3．

故答案为：-2或-3

点评：

本题考点： 等比数列的通项公式．

考点点评： 小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力．