Question

如图，在平面直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E．

Answer 1

（1）由已知，得B（-2，0）C（8，0），D（0，-4）

将C、D两点代入得：

1

4 × 8 2 +8b+c=0

c=-4 ，

解得 b=-

3

2 ，c=-4 ，

∴抛物线的解析式为 y=

1

4 x 2 -

3

2 x-4

∵

1

4 (-2 ) 2 -

3

2 ×(-2)-4=0 ，

∴点B在这条抛物线上．

（2）要使△PBD的周长最短，由于边BD是定值，只需PB+PD最小，

∵点B、C关于对称轴x=3对称，

∴直线CD与对称轴x=3的交点就是所求的点P．

设直线CD的解析式为y=kx+m．将C、D两点代入，得

8k+m=0

m=-4 ，

解得 k=

1

2 ，m=-4 ，

∴直线CD的解析式为 y=

1

2 x-4 当x=3时， y=-

5

2 ，

∴点P的坐标为（3，-2.5）．

（3）存在．

M（-7，

75

4 ），N（3，

75

4 ）或M（13，

75

4 ），N（3，

75

4 ）或M（3，-

25

4 ），N（3，

25

4 ）