第一题:∵AF是△BAC的角平分线 ∴BF/CF=AB/AC
∵AG是△EAD的角平分线 ∴EG/DG=AE/AD
∵∠AEC=∠ADB=90°,∠EAC=∠DAB ∴△EAC∽△DAB ∴AE/AD=AB/AC
∴BF/CF=EG/DG 即BF/EG=CF/DG
第二题:∵AP和AQ分别为△ABC内外角平分线,∴∠PAQ=90°
∵M为PQ的中点,∴MA=1/2PQ=MP ∴∠APM=∠PAM
∴∠B=∠APM-∠BAP=∠PAM-∠CAP=∠MAC
∵∠AMB=∠CMA ∴△AMB∽△CMA ∴MA/MC=MB/MA=AB/AC
∴MA^2=MB*MC MB/MC=(MB/MA)*(MA/MC)=(AB/AC)(AB/AC)=AB^2/AC^2
第三题:(1)∵AB=AC, ∠A=36° ∴∠ABC=∠C=72°
∵BD为角平分线 ∴∠ABD=∠CBD=36° ∴∠C=∠BDC=72°
∴BC=BD=AD
(2)∵∠A=∠CBD=36° ∠ABC=∠C=72° ∴△ABC∽△BCD
(3)设BC=y AB=x
由(2)可得:BC/AB=CD/BC
CD=AC-AD=AB-BC=x-y
∴y/x=(x-y)/y即y^2+xy-x^2=0 解得:y=1/2(±√5-1)x
舍去负值BC=1/2(√5 –1)AB