Question

（2014•潍坊）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接O

Answer 1

解题思路：（1）连接OE，证出Rt△OAD≌Rt△OED，利用同弦对圆周角是圆心角的一半，得出∠AOD=∠ABE，利用同位角相等两直线平行得到OD∥BE，

（2）由Rt△COE≌Rt△COB，得到△COD是直角三角形，利用S_梯形ABCD=2S_△COD，

求出xy=48，结合x+y=14，求出CD．

（1）证明：如图，连接OE，

∵CD是⊙O的切线，

∴OE⊥CD，

在Rt△OAD和Rt△OED，

OA＝OE

∠OAD＝∠OED

OD＝OD，

∴Rt△OAD≌Rt△OED（SAS）

∴∠AOD=∠EOD=[1/2]∠AOE，

在⊙O中，∠ABE=[1/2]∠AOE，

∴∠AOD=∠ABE，

∴OD∥BE（同位角相等，两直线平行）．

（2）与（1）同理可证：Rt△COE≌Rt△COB，

∴∠COE=∠COB=[1/2]∠BOE，

∵∠DOE+∠COE=90°，

∴△COD是直角三角形，

∵S_△DEO=S_△DAO，S_△OCE=S_△COB，

∴S_梯形ABCD=2（S_△DOE+S_△COE）=2S_△COD=OC•OD=48，

即xy=48，

又∵x+y=14，

∴x²+y²=（x+y）²-2xy=14²-2×48=100，

在Rt△COD中，

CD=

OC2+OD2=

x2+y2=

100=10，

∴CD=10．

点评：

本题考点： 切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；梯形；圆周角定理．

考点点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和全等三角形的判定与性质．关键是综合运用，找准线段及角的关系．