Question

设矩阵A＝0 -1 1-1 0 11 1 0,求一个正交矩阵p,使P-1AP为对角阵

Answer 1

|A-λE| =

-λ -1 1

-1 -λ 1

1 1 -λ

c1-c2

1-λ -1 1

λ-1 -λ 1

0 1 -λ

r2+r1

1-λ -1 1

0 -1-λ 2

0 1 -λ

= (1-λ)[λ(1+λ)-2]

= (1-λ)(λ^2+λ-2)

= (1-λ)(λ-1)(λ+2).

所以 A 的特征值为 1,1,-2.

(A-E)X=0 的基础解系为:a1=(-1,1,0)',a2=(1,1,2)'

(A+2E)X=0 的基础解系为:a3=(1,1,-1)'

特征向量正交化得

b1=(-1/√2,1/√2,0)'

b2=(1/√6,1/√6,2/√6)'

b3=(1/√3,1/√3,-1/√3)'

令 P=(b1,b2,b3)=

-1/√2 1/√6 1/√3

1/√2 1/√6 1/√3

0 2/√6 -1/√3

则P为正交矩阵,满足 P^-1AP=diag(1,1,-2).