Question

（2014•梅州二模）如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1，底面ABCD为菱形，∠ADC=120

Answer 1

解题思路：（1）由已知条件推导出四边形AB₁C₁D是平行四边形，四边形AC₁EA₁是平行四边形，由此能证明A₁E∥平面B₁AD．

（2）以DC为x轴，DQ为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出当CE=

7

4

C

C

1

时，能使得平面EB₁D₁⊥平面A₁BD．

（1）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，且ABCD是菱形，

∴B₁C₁∥A₁D₁，且B₁C₁=A₁D₁，AD∥A₁D₁且AD=A₁D₁，

∴B₁C₁∥AD且AD=B₁C₁，∴四边形AB₁C₁D是平行四边形，

∴A，B₁，C₁，D四点共面，

平面B₁AD与平面AB₁C₁D是同一个平面…（2分）

连结AC₁，∵A₁A

∥CC₁且A₁A=CC₁，EC₁=CC₁，

∴EC₁∥A₁A，且EC₁=A₁A，…（4分）

∴四边形AC₁EA₁是平行四边形，∴A₁E∥AC₁，

又A₁E不包含于平面B₁AD，AC₁⊂平面B₁AD，

∴A₁E∥平面B₁AD．…（6分）

（2）取AB的中点Q，连接DQ，

∵∠ADC=120°，∴∠DAC=60°，

∴△DAB是正三角形，∴DQ⊥AB，AB∥DC，

∴DQ⊥DC，∴D₁D⊥平面ABCD，

从而D₁D，DC，DQ两两垂直，以DC为x轴，DQ为y轴，DD₁为z轴，

建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示），设AB=2．…（7分）

则B（1，

3，0），D（0，0，0），A1(−1，

3，2)，B1(1，

3，2)，

∴

DB＝(1，

3，0)，

DA1＝(−1，

3，2)，D₁（0，0，2），E（2，0，2

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质．

考点点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查使平面与平面垂直的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．