Question

设f（x）=limt→∞(t+xt+2x)t，（x≥0）（1）将由曲线y=f（x），x轴，y轴和直线x=1所围平面图形绕

Answer 1

（1）当x≠0时，

f（x）=

lim

t→∞(

t+x

t+2x)t=

lim

t→∞(1?

x

t+2x)?

t+2x

x?(?

tx

t+2x)=e?

lim

t→∞

tx

t+2x=e^-x；

当x=0时，f（x）=1=e⁰，

所以，f（x）=e^-x．

因此，所求旋转体的体积为：

V=

∫102πf(x)dx=2π

∫10e?xdx=2π（1-e^-1）．

（2）对于y=f（x）上任意一点P（t，e^-t），

过点P的切线斜率为：k=f′（t）=e^-t，

切线方程为：

y-e^-t=-e^-t（x-t），

与两坐标轴的交点分别为：（0，（1+t）e^-t），（0，t+1），

因此切线与两坐标轴所夹平面图形的面积为：

1

2|t+1|×|t+1|e?t=

1

2(t+1)2e?t．

设f（t）=

1

2(t+1)2e?t，

则f′（t）=

1

2(1?t)(1+t)e?t，f″（t）=

1

2(t2?2t?1)e?t，

令f′（t）=0可得，t=±1．

又因为f″（1）=-e^-1＜0，f″（-1）=e＞0，

所以f（t）在t=1处取得极大值．

由实际意义可得，f（t）在t=1处取得最大值．

从而，所求的点为：（1，e^-1）．