如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥BC,AB∥CD,AB=2BC=2CD=2

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  • 以AB,AP为x,z轴建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(2,1,0),D(1,1,0),设P(0,0,h),则

    向量CP=(-2,-1,h),BC=(0,1,0),DC=(1,0,0),

    设平面PBC的法向量m=(n,p,1),则m*CP=-2n-p+h=0,m*BC=p=0,n=h/2,m=(h/2,0,1).

    平面PCD的法向量q=(r,s,1),则q*CP=-2r-s+h=0,q*DC=r=0,s=h,q=(0,h,1),

    mq=1,|m|=√(h^2+4)/2,|q|=√(h^2+1),

    二面角B-PC-D的余弦值为 -√2/3,

    ∴cos=1/[√(h^2+4)/2*√(h^2+1)]=√2/3,

    平方得18=(h^2+4)(h^2+1),

    整理得h^4+5h^2-14=0,h>0,

    解得h^2=2,h=√2,

    梯形ABCD的面积S=(1/2)(AB+CD)*BC=3/2,

    ∴四棱锥P-ABCD的体积=(1/3)Sh=√2/2.