A的秩为R(A),则A的所有R(A)+1阶子式全为零,在A上加上一列b得到矩阵B,B的R(A)+2阶子式中如果不含有b列的元,则B的R(A)+2阶子式也为零,如果含有b列的元,则行列式按b列元素展开,即行列式b列的所有元素乘以相应的R(A)+1阶子式,然后相加,R(A)+1阶子式不含b列的元,故全为零,于是B的R(A)+2阶子式也为零,也即B的秩最多是R(A)+1,或是R(A),或是R(A)+1.
A的秩为R(A),则A的列向量中最多有且有R(A)个线性无关的向量,设a1,a2,..,ar是线性无关的向量组,在A上加上一列b得到矩阵B,如果b能用a1,a2,..,ar向量组线性表出,则a1,a2,..,ar也是B的列向量的最大无关组,此时R(A)=R(B),如果b不能用a1,a2,..,ar向量组线性表出,则a1,a2,..,ar,b是线性无关的,它是B的列向量的最大无关组,该线性无关向量组比a1,a2,..,ar多1个,故R(B)=R(A)+1,即R(A)=R(B)-1.