(2006•福州质检)如图,在直角坐标系xoy中,已知两点O1(3,0)、B(-2,0),⊙O1与x轴交于原点O和点A,

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  • 解题思路:(1)由已知得出BE是⊙O1的切线,先设切点为M,连接O1M,则O1M⊥BM,得出O1M、BM的值,再根据OE⊥BO,又得出△BOE∽△BMO,即可求出m的值,最后设出直线BE的解析式是y=kx+m,

    把B点的坐标以及m的值代入解出k的值,从而求出直线BE的解析式;

    (2)根据(1)所求出的m的值,分三种情况进行讨论,即可得出直线BE与⊙O1的位置关系;

    (3)先设直线BE、BF与⊙O1相切,由圆的对称性可知∠EBF=2∠EBO=2∠α,得出sinα与cosα的值,再过E作EH⊥BF于H,由三角形等积性质得出EH•BF=EF•BO,即可求出EH的值,最后即可求出sin2α-2sinα•cosα的值;

    (1)由已知得BE是⊙O1的切线,

    设切点为M,连接O1M,则O1M⊥BM,

    ∴O1M=3,BM=4,又OE⊥BO,

    ∴△BOE∽△BMO,

    ∴[OE

    O1M=

    OB/BM],

    ∴[m/3]=[2/4],

    ∴m=[3/2],

    设此时直线BE的解析式是y=kx+m,

    将B(-2,0)及m=[3/2]代入上式,解得k=[3/4],

    ∴y=[3/4]x+

    3

    2,

    由圆的对称性可得:m=-[3/2],直线BE也与⊙O1相切,

    同理可得:y2=-[3/4]x-[3/2];

    (2)当m>

    3

    2或m<-[3/2]时,直线与圆相离,

    当m=[3/2]或m=-[3/2]时,直线与圆相切,

    当−

    3

    2<m<[3/2]时,直线与圆相交;

    (3)当直线BE与⊙O1相切时,显然存在另一条直线BF也与⊙O1相切,

    设直线BE、BF与⊙O1相切于点M、N,连接O1M、O1N,有O1M⊥BM,O1N⊥BN,由圆的对称性可知∠EBF=2∠EBO=2∠α,

    sinα=

    O1M

    BO1=[3/5],

    cosα=[BM

    BO1=

    4/5],

    过E作EH⊥BF于H,在△BEF中,

    由三角形等积性质得;EH•BF=EF•BO,

    BF=BE=[5/2],EF=2m=3,BO=2,

    ∴EH=[12/5],

    sin2α=sin∠EBF=

    点评:

    本题考点: 一次函数综合题;点到直线的距离;直线与圆的位置关系;锐角三角函数的定义.

    考点点评: 此题考查了一次函数的综合;解题的关键是根据直线与圆的位置关系,点到直线的距离以及锐角三角函数的求法分别进行解答.