解题思路：（1）根据nan+1=（n+1）an+cn（n+1）化简变形，然后根据等差数列的定义进行判定
{
a
n
n
}
是等差数列即可；
（2）先根据（1）求数列{bn}的通项公式，由数列{bn}为递减数列，可得到bn+1-bn＜0对任意的n∈N*恒成立，通过n=1、2、3分别求出c的范围，再由根据函数的单调性求出的c的范围与上面求出的c的范围矛盾，得到实数c不存在．
（3）若要使存在正整数p，q（p≠q）使ap=aq成立，则p+p（p-1）c=p+q（q-1）c，然后求出c的值．
（1）∵nan+1=（n+1）an+cn（n+1）
∴
an+1
n+1＝
an
n+c，即
an+1
n+1−
an
n＝c
从而数列{
an
n}是首项为1，公差为c的等差数列
（2）若要使存在正整数p，q（p≠q）使ap=aq成立，
则p+p（p-1）c=p+q（q-1）c
∴p+q=1-[1/c]，又p+q≥3
令p+q=k（k∈N且k≥3），则c=[1/1−k]（k∈N且k≥3）．
（3）bn＝(
1
2)nan＝
cn2+(1−c)n
2n
∵数列{bn}为递减数列
∴bn+1−bn＝
c(n+1)2+(1−c)(n+1)
2n+1−
cn2+(1−c)n
2n
=
−c(n+1)2+(3c−1)n+1
2n+1＜0对任意的n∈N*恒成立
∴-cn2+（3c-1）n+1＜0，即c（3n-n2）＜n-1①
当n=1时，由①得c＜0
当n=2时，由①得c＜[1/2]
当n=3时，由①得c∈R
当n≥4时，c＞
n−1
3n−n2
设f（x）=
x−1
3x−x2(x≥4)，则f′（x）=
x2−2x+3
(3x−x2)2＝
(x−1)2+2
(3x−x2)2＞0
∴f（x）在[4，+∞）上是增函数，从而-
3
4≤f(x)＜0
∴c≥0
综上可知，满足条件的实数c不存在．
点评：
本题考点： 数列递推式．
考点点评： 本题主要考查了等差数列的判定，构造法求出函数的导数，判断函数的单调性，以及新数列是等差数列的充分不必要条件，同时考查了计算能力，注意p+q的范围，属于中档题．