Question

对于每个自然数n，一元二次函数y=（n2+n）x2-（2n+1）x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点

Answer 1

解题思路：先确定A_n，B_n的坐标，代入两点间的距离公式可得到|A_nB_n|的关系式，然后代入，利用叠加法，即可求得结论．

∵y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1=（nx-1）[（n+1）x-1]，

∴由y=0得x=[1/n]或x=[1/n+1]

∴A_n（[1/n+1]，0），B_n（[1/n]，0），

∴|A_nB_n|=[1/n]-[1/n+1]

∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₄B₂₀₁₄|=1−

1

2+

1

2−

1

3+…+[1/2014−

1

2015]=1-[1/2015]=[2014/2015]

故选C．

点评：

本题考点： 两点间的距离公式．

考点点评： 本题考查数列与函数的综合，考查学生分析问题与转化求解的能力，属于中档题．