设椭圆的方程：x²/a²+y²/b²=1
依题意c/a=1/2 →b²=a²-c²=3c² ①
1/a²+9/4b²=1 ②
联立① ②解得a²=4 b²=3
所以椭圆方程：x²/4+y²/3=1 ③
设A（x1,y1） B（x2,y2）
因为若原点 O在以MN为直径的圆上,所以OA⊥OB
设OA,OB的斜率分别为KOA,KOB
将y=kx-2代入③ 并整理的（3+4k²）x²-16kx+4=0
由韦达定理：x1+x2=16k/（3+4k²） x1x2=4/（3+4k²）
KOA=y2/x2 KOB=y1/x1
由KOA×KOB=-1
得y2/x2×y1/x1=-1 并将y2=kx2-2 y1=kx1-2代入并整理得
（1+k²）x1x2-2k(x1+x2)+4=0
即（1+k²）×4/（3+4k²）-2k×16k/（3+4k²）+4=0
两边同时乘以3+4k²整理得：3k²=4
k=±2√3/3
希望可以帮到你.不懂的你再追问.