Question

高中数列求通项公式,已知b1=1/2,b(n+1)=(1/bn)+2,求bn?打错了，是b(n+1)=1/(b(n)+2

Answer 1

不动点法,b(n+1)+(1+√2)=1/(bn+2)+(1+√2)=[(1+√2)bn+3+2√2]/(bn+2),

b(n+1)-(√2-1)=1/[b(n)+2]-(√2-1)=[(1-√2)bn+3-2√2]/(bn+2）,

两式相除,得

[b(n+1)+(1+√2)]/[b(n+1)-(√2-1)]=[(1+√2)bn+3+2√2]/[(1-√2)bn+3-2√2],

待定系数

得k=[-(1+√2)^2]

即b(n+1)=1/(bn+2)可化为

[b(n+1)+(1+√2)]/[b(n+1)-(√2-1)]=[-(1+√2)^2]*[bn+(1+√2)]/[bn-(√2-1)]

即Cn=[bn+(1+√2)]/[bn-(√2-1)]是以[-(1+√2)^2]为公比的等比数列.