Question

设数列{an}的前n项和Sn=3an-2（n=1，2，…）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用数列的前n项和，推出数列的通项公式，即可证明数列{a_n}是等比数列；

（Ⅱ）通过b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），且b₁=-3，写出数列n=2，3，4…n，的关系式，通过累加法，求出数列的通项公式，然后利用通项公式，直接求数列{b_n}的前n项和T_n．

（Ⅰ）证：因为S_n=3a_n-2（n=1，2，…），S_n-1=3a_n-1-2（n=2，3，…），

所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-3a_n-1，整理得an＝

3

2an−1．

由S_n=3a_n-2，令n=1，得a₁=3a₁-2，解得a₁=1．

所以{a_n}是首项为1，公比是[3/2]的等比数列．…（6分）

（Ⅱ）由b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），

得b_n+1-b_n=a_n（n=1，2，…）．

所以

b2−b1＝a1，

b3−b2＝a2，

…

bn−bn−1＝an−1，

从而 bn＝b1+[a1+a2+…+an−1]＝−3+

1−(

3

2)n−1

1−

3

2＝2(

3

2)n−1−5．

Tn＝2[1+

3

2+(

3

2)2+…+(

3

2)n−1]−5n＝4×(

3

2)n−5n−4．…（13分）

点评：

本题考点： 等比关系的确定；等比数列的前n项和．

考点点评： 本题是中档题，考查等比数列的判断方法，通项公式的求法等知识，考查累加法的应用，考查计算能力，常考题型．