苏教版选修1-1导数在研究函数单调性部分有这样一个重要结论：设函数y=f(x),如果在某区间上f’(x)>0,那么f(x)为该区间上的增函数；如果f’(x)0,则的图像为开口向上,对称轴x=的抛物线.
则 ≤1,
所以
若0
所以
即
由于 ,于是
所以
令
所以
因为在上单调递增,所以
所以
这两种解法都体现了学生对于利用导数研究函数单调性的结论理解的不足之处.解法一,学生条理清晰,层次分明,分类思想掌握到位.但是如果函数形式改变为,若时,函数不再为二次函数,此时如何解决呢?解法二,学生使用了导数与函数单调性的关系,参变分离,利用在给定区间上恒成立,则的结论.即使函数形式改变为,这个方法依然适用.解法一和二相比较,解法二使用范围更为广泛,在某种程度上可以成为已知函数单调性,利用导数求函数参数取值范围此类问题的通法.但是为什么两种解法的答案不一致呢?哪个答案才是正确的?问题出在哪里?
两个答案正确与否在于=0是否符合题意,在解法一中显然可看到它是满足题意的.那么为什么解法二会发生少解呢?问题就出在对于“设函数y=f(x),如果在某区间上f’(x)>0,那么f(x)为该区间上的增函数；如果f’(x)0吗?显然此结论是不正确的.对于函数可看到 ≥0恒成立.于是我们可发现：若在某区间上I可导,
在区间I上单调递增在区间I上>0；
在区间I上>0在区间I上单调递增.
在区间I上单调递增在区间I上 ≥0
所以在区间I上单调递增是>0必要不充分条件.故在解法二中已知“函数 在上递增,则f’(x)>0”应改为“ ≥0”,从而正确的答案是.
由此我们可发现对于此类问题学生理解不到位的一个原因就是对于函数在区间I上单调递增与 ≥0抑或>0的充分必要关系混淆不清,函数单调递减也与此类似.
课堂教学中我在教材基础上多加一个思考,若在区间I上 ≥0,则在区间I上单调递增吗?学生普遍异口同声表示成立的.于是就进一步得到了结论：
若函数在某区间上I可导,则
在区间I上 ≥0在区间I上单调递增
即在区间I上 ≥0是在区间I上单调递增的充分必要条件.
得到这个结论以后,很多老师常止步于此.可问题又来了,看这样一个例题：函数 = 在上单调递增,求实数的取值范围.学生常见的解法如下：
解法：已知函数 在上单调递增,则 ≥0
所以 =≥0
因为,所以
因此
即
可部分学生通过检验又发现当时,函数=1,不合题意.学生纳闷了,究竟错在哪里呢?难道“在区间I上 ≥0是在区间I上单调递增的充分必要条件”这个结论错了吗?这个结论没有错误,而是这个结论在得出之时过于草率.
在此面对大家认为“若在区间I上 ≥0,则在区间I上单调递增”此结论正确的时候,我又加了一比较,请比较“在区间I上>0在区间I上单调递增”与“在区间I上 ≥0在区间I上单调递增”这两者的异同.通过学生的比较可发现,两者都是通过导函数的正负情况可判断函数的单调性；后者与前者相比,多了个=0.多了=0会出现什么情况呢?引发学生进一步思考=0出现的情况.只有函数为常数时=0,可如果函数为常数函数时,函数本身不存在单调性,因此函数在定义区间内不能存在连续的实数使=0成立,只能存在孤立的实数 ,使=0.
从而在区间I上单调递增的充分必要条件可进一步完整为
对一切,有 ≥0；
对内任何子区间上不恒为0.
上述例题出现的问题就在于当时,恒为0,不符合结论中的第二点.运用导数研究函数单调性的问题主要围绕两个方面：一,求解函数单调区间；二,利用函数单调性求函数中所带参数变量的取值范围.在求解函数单调区间的问题中在定义范围内等号能否取到对单调区间的影响并不大,而在利用导数根据单调性求参数范围这类问题中,等号能不能取到是关键的一点,这取决于学生对函数单调性与导函数关系这一结论的认识程度.因而,结合教材,添加适当的思考与比较辨析更有利于加深学生的理解,有利于提高学生思维的缜密性和综合解题能力.