解题思路：（I）首先求出
a
1
＝
1
2
，然后讨论当n为偶数时，an＜0；当n为奇数时，an＞0，再由
3(
a
n+1
−
a
n
)
1+
a
n+1
＝
1−
a
n+1
a
n+1
+
a
n
，得3（an+12-an2）=1-an+12，即4an+12-3an2=1，于是可以得出
4（an+12-1）=3（an2-1），即数列{an2-1}是以
a
2
1
−1＝−
3
4
为首项，[3/4]为公比的等比数列，最终求出{an}的通项公式．
（II）由（ I）知bn=an+12-an2=
1−(
3
4
)
n+1
−1+(
3
4
)
n
＝
1
4
•(
3
4
)
n
，假设数列{bn}中存在三项br，bs，bt（r＜s＜t）成等差数列，然后证明2•3s•4t-s=3r•4t-r+3t是不是成立．
（ I）由a1＝
1
2，an+1•an＜0知，
当n为偶数时，an＜0；当n为奇数时，an＞0；
由
3(an+1−an)
1+an+1＝
1−an+1
an+1+an，得3（an+12-an2）=1-an+12，即4an+12-3an2=1，
所以4（an+12-1）=3（an2-1），
即数列{an2-1}是以
a21−1＝−
3
4为首项，[3/4]为公比的等比数列
所以，
a2n−1＝−
3
4(
3
4)n−1＝−(
3
4)n，
a2n＝1−(
3
4)n，
故an＝(−1)n−1
1−(
3
4)n
（ II）由（ I）知bn=an+12-an2=1−(
3
4)n+1−1+(
3
4)n＝
1
4•(
3
4)n，
则对于任意的n∈N*，bn＞bn+1．
假设数列{bn}中存在三项br，bs，bt（r＜s＜t）成等差数列，
则br＞bs＞bt，即只能有2bs=br+bt成立，
所以2•
1
4(
3
4)s＝
1
4(
3
4)r+
1
4(
点评：
本题考点： 数列递推式；等差关系的确定．
考点点评： 本题主要考查数列递推式和等差数列关系确定的知识点，解答本题的关键是对n进行奇偶数分类讨论，要熟练掌握等差数列的性质，本题有一定难度．