（1）M（-1，-1）、N（1，1）、D（0，1）；
（2）设抛物线的解析式为
，
∵点D、M、N在抛物线上，
∴得：
解之，得：
∴抛物线的解析式为：
，
∵
∴ 抛物线的对称轴为
，
∴
，
连结
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
在直角三角形DOE中，
cos∠BDF=
；
（3）∵⊙O半径为1，平移后的⊙O要与x轴相切且它的圆心O在抛物线上，
∴平移后的圆心O必在平行于x轴且到x轴的距离为1的直线与抛物线的交点上，
当平移后的圆心O在x轴的上方时，可设平移后的圆心O′的坐标为（m，1），
则
，
解得
，
，
∴O′的坐标为（0，1）或（1，1），
当平移后的圆心O在x轴的下方时，可设平移后的圆心O′′的坐标为（n，-1），
则
，
解得
，
，
∴O′′的坐标为（-1，-1）或（2，-1），
① 将⊙O沿着y轴的正方向平移1个单位，能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上；
② 将⊙O沿着y轴的正方向平移1个单位后，再沿着x轴的正方向平移1个单位（或将⊙O沿着直线y=x的向上方向平移
个单位），能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上；
③ 将⊙O沿着y轴的负方向平移1个单位后，再沿着x轴的负方向平移1个单位，（或将⊙O沿着直线y=x的向下方向平移
个单位）能使⊙O与x轴相切且它的圆心在抛物线上；
④将⊙O沿着y轴的负方向平移1个单位后，再沿着x轴的正方向平移2个单位，（或将⊙O沿着直线
的向下方向平移
个单位）能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上。