用反证法证明:已知a与b均为有理数,且√a与√b都是无理数,证明√a+√b都是无理数.

1个回答

  • 假设√a+√b为有理数

    (1)a等于b时

    √a+√b=2√a为有理数

    因为:任何一个非零有理数与一个无理数之积必是无理数

    所以:2√a为无理数

    与假设矛盾,假设不成立

    (2)a不等于b时 √a-√b不等于0

    由已知得√a+√b也不等于0

    (√a+√b)(√a-√b)=a+b

    因为:两个有理数的和必是有理数

    所以:a+b是有理数

    因为:任何一个非零有理数与一个无理数之积必是无理数

    所以√a-√b不能是无理数

    则有(√a+√b)+(√a-√b)=2√a为有理数

    因为:任何一个非零有理数与一个无理数之积必是无理数

    所以:2√a为无理数,与假设结论矛盾,假设不成立

    综上所述,√a+√b为无理数