(1)C点是(0,3),D点是(1,0)
△COD是直角三角形,M点在斜边CD上
因为CM=OM(1)
所以∠OCM=∠COM
又因为∠OCM+∠ODC=90°,∠COM+∠MOD=90°
所以∠MOD=∠ODC
所以△OMD也是等于三角形,所以OM=DM (2)
由(1)、(2)得OM=CM=DM
所以在Rt△ODC中,OM是斜边的中线,即M是CD中点
所以M左边是(1/2 ,3/2)
把C(0,3),M(1/2,3/2),代入抛物线y=x^2+bx+c
得 抛物线y=x^2-7/2x+3
(2)直线AC的方程是y=x+3
当F点在Y轴左边时,CE、FP是菱形的对角线.
所以CE,FP互相垂直平分,
因为CE在Y轴上,所以FP必与X轴平行或者重合,且点F、P关于Y轴对称
设F左边为(x,y),根据对称关系可得P为(-x,y)
把F、P左边分别代入直线AC的方程,和抛物线的方程y=x^2-7/2x+3
y=x+3 ; y=x^2+7/2x+3
解得x=-5/2,y=1/2 或者x=0,y=3(舍去)
所以F点为(-5/2,1/2),P点为(5/2,1/2)
E点和C点关于FP对称,即关于y=1/2对称
所以E点为(0,-3/2)
下面先求菱形边长
根据C,F点的坐标,求得CF=5/2√2
所以菱形周长为10√2
当F点在Y轴右边时,CE和FP这个时候是菱形的边,不是对角线了,且CE和FP还是对边.
CE,FP互为对边,所以CEllFP
又因为CE在Y轴上,所以FP与Y轴平行.
设F为(x1,y1),P为(x1,y2)
把F,P点左边分别代入直线和抛物线的方程
得y1=x1+3 ; y2=(x1)^2-7/2(x1)+3
边FP=y1-y2=x1+3-[(x1)^2+7/2(x1)+3]= -(x1)^2+9/2x1
边CF=√[(y1-3)^2+(x1-0)^2]=√2x1
因为菱形四条边相等
所以FP=CF,FP= -(x1)^2+9/2x1=CF=√2x1
解得x1=9/2-√2 或者0(舍去)
因为x1=0时F,P点与C点重合,显然不符合要求.
下面求边长
CF=√2x1=9/2*√2-2
周长为4CF=18√2-8