（1）当k=1时，函数f（x）=lnx+
1
x ，则f′（x）=
1
x -
1
x 2 =
x-1
x 2 ，
当f′（x）＜0时，0＜x＜1，当f′（x）＞0时，x＞1，
则函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；
（2）f（x）≥2+
1-e
x 恒成立，即lnx+
k
x ≥2+
1-e
x 恒成立，整理得k≥2x-xlnx+1-e恒成立，
设h（x）=2x-xlnx+1-e，则h′（x）=1-lnx，令h′（x）=0，得x=e，
当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
因此当x=e时，h（x）取得最大值1，因而k≥1；
（3）g（x）=xf（x）-k=xlnx，g′（x）=lnx+1，
因为对任意的x 1，x 2（0＜x 1＜x 2），总存在x 0＞0，使得g′（x 0）=
g(x1)-g(x2)
x1-x2 成立，
所以lnx 0+1=
g( x 1 )-g( x 2 )
x 1 - x 2 ，即lnx 0+1=
x 1 ln x 1 - x 2 ln x 2
x 1 - x 2 ，
即lnx 0-lnx 1=
x 1 ln x 1 - x 2 ln x 2
x 1 - x 2 -1-lnx 1=
x 2 ln x 1 - x 2 ln x 2 + x 2 - x 1
x 1 - x 2 =
ln
x 1
x 2 +1-
x 1
x 2
x 1
x 2 -1 ，
设φ（t）=lnt+1-t，其中0＜t＜1，则φ′（t）=
1
t -1＞0，
因而φ（t）在区间（0，1）上单调递增，φ（t）＜φ（1）=0，
又
x1
x2 -1＜0，所以lnx 0-lnx 1＞0，即x 0＞x 1．