Question

如图，⊙O与⊙A相交于C、D两点，A、O分别是两圆的圆心，△ABC内接于⊙O，弦CD交AB于点G，交⊙O的直径AE于点F

Answer 1

解题思路：（1）根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，得到∠ACG=∠DBG，∠CAG=∠GDB，然后根据相似三角形的判定方法即可得到结论；

（2）根据两圆相交的性质得到连心线OA垂直平分公共弦CD，再根据垂径定理得弧AC=弧AD，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等得到∠ACD=∠ABC，而∠CAG=∠BAC，根据相似三角形的判定方法得到△ACG∽△ABC，则AC：AB=AG：AC，利用比例的性质即可得到结论．

（1）∵∠ACG=∠DBG，∠CAG=∠GDB，

∴△ACG∽△DBG；

（2）∵⊙O与⊙A相交于C、D两点，A、O分别是两圆的圆心，

∴OA垂直平分CD，

∴弧AC=弧AD，

∴∠ACD=∠ABC，

而∠CAG=∠BAC，

∴△ACG∽△ABC，

∴AC：AB=AG：AC，

∴AC²=AG•AB．

点评：

本题考点： 圆的综合题．

考点点评： 本题考查了圆的综合题：相交两圆的连心线O垂直平分公共弦；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；运用相似三角形的判定与性质证明等积式是常用的方法．