如图,已知抛物线y=x 2 +bx+c与x轴交于点A,B,AB=2,与y轴交于点C,对称轴为直线x=2.

1个回答

  • (1)如图,∵AB=2,对称轴为直线x=2.

    ∴点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(3,0).

    ∵抛物线y=x 2+bx+c与x轴交于点A,B,

    ∴1、3是关于x的一元二次方程x 2+bx+c=0的两根.

    由韦达定理,得

    1+3=-b,1×3=c,

    ∴b=-4,c=3,

    ∴抛物线的函数表达式为y=x 2-4x+3;

    (2)如图1,连接AC、BC,BC交对称轴于点P,连接PA.

    由(1)知抛物线的函数表达式为y=x 2-4x+3,A(1,0),B(3,0),

    ∴C(0,3),

    ∴BC=

    3 2 + 3 2 =3

    2 ,AC=

    3 2 + 1 2 =

    10 .

    ∵点A、B关于对称轴x=2对称,

    ∴PA=PB,

    ∴PA+PC=PB+PC.

    此时,PB+PC=BC.

    ∴点P在对称轴上运动时,(PA+PC)的最小值等于BC.

    ∴△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=3

    2 +

    10 ;

    (3)如图2,根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分,抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x 2-4x+3的顶点坐标,即(2,-1),

    当E、D点在x轴的上方,即DE ∥ AB,AE=AB=BD=DE=2,此时不合题意,

    故点D的坐标为:(2,-1).

    故答案是:(2,-1).