Question

已知函数f（x）=（x-1）ln（x-1）．（1）设函数g（x）=-a（x-1）+f（x）在区间[2，e2+1]上不单调

Answer 1

（1）g'（x）=-a+1+ln（x-1）在（1，+∞）上递增…（1分）

由已知，有

g′(2)＝?a+1＜0

g′(e2+1)＝?a+3＞0解得1＜a＜3

∴a的取值范围为（1，3）．…（4分）

（2）由题知k＜

(x?1)ln(x?1)+x?1

x?2对x＞2恒成立．…（5分）

令u（x）=

(x?1)ln(x?1)+x?1

x?2则u'（x）=

?ln(x?1)+x?3

(x?2)2

令v（x）=-ln（x-1）+x-3v′(x)＝1?

1

x?1＝

x?2

x?1，

∵x＞2∴v'（x）＞0即v（x）在（2，+∞）上递增 …（8分）

又∵v（4）=-ln3+1＜0，v（5）=-2ln2+2＞0

∴?x₀∈（4，5），使得v（x₀）=0，即u'（x₀）=0

∴u（x）在（4，x₀）上递减，在（x₀，5）上递增．…（10分）

∴[u(x)]min＝u(x0)＝

(x0?1)ln(x0?1)+(x0?1)

x0?2=

(x0?1)(x0?3)+(x0?1)

x0?2＝x0?1∈(3，4)

k＜[u（x）]_min=x₀-1

又∵k∈Z，∴k的最大值为3．…（12分）