§0-5 二阶微分算符 格林定理
Second-order
Difference Operator,
Green's Theorem
1,一阶微分运算(First-order Difference Calculation)
将算符 直接作用于标量场和矢量场,即分别得到梯度,散度和旋度,即 这些都叫一阶微分运算.
举例:
a)设 为源点 与场 之间的距离,r 的方向规定为源点指向场点,试分别对场点和源点求r 的梯度.
第一步:源点固定,r 是场点的函数,对场点求梯度用 r表示,则有
而
场点(观察点)
源点
坐标原点
o
同理可得:
故得到:
第二步:场点固定,r是源点的函数,对源点求梯度用 表示.
而
同理可得:
所以得到:
作业:
b) 设u是空间坐标x,y,z的函数,证明
证:这是求复合函数的导数(梯度),按复合函数微分法则,有
c) 设
求
而
同理可得
那么
这里
同理可得
故有
由此可见:
d) 设u是空间坐标x,y,z的函数,证明
证:
e) 设u是空间坐标x,y,z的函数,证明
证:
2,二阶微分运算(Calculation of Two-order Difference)
将算符 作用于梯度,散度和旋度,则称为二阶微分运算,设 为标量场,为矢量场.
并假设 的分量具有所需要的阶的连续微商,则不难得到:
(1)标量场的梯度必为无旋场
(2)矢量场的旋度必为无散场
(3)无旋场可表示一个标量场的梯度
(4)无散场可表示一个矢量场的旋度
(5)标量场的梯度的散度为
(6)矢量场的旋度的旋度为
3,运算于乘积(Calculation of Multiplication with )
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
根据常矢运算法则
则有:
故有:
(7)
根据常矢运算法则:
则有
(8)
因为
故有
从而得到:
4,格林定理(Green's theorem)
由Gauss's theorem得到:
将上式 交换位置,得到
以上两式相减,得到
5,常用几个公式
设
试求:
a)
而
同理:
b)
从而可见: