解题思路：（1）先确定a＞0，再求导函数，确定函数的单调性，可得
x＝
1
a
ln
1
a
时，f（x）取最小值
f(
1
a
ln
1
a
)＝
1
a
−
1
a
ln
1
a
故对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，则[1/a−
1
a
ln
1
a
≥1，构建新函数g（t）=t-tlnt，则g′（t）=-lnt，确定函数的单调性，求出函数的最大值，由此即可求得a的取值集合；
（2）由题意知，
k＝
e
a
x
2
−
e
a
x
1
x
2
−
x
1
−1
，构建新函数φ（x）=f′（x）-k=
a
e
ax
−
e
a
x
2
−
e
a
x
1
x
2
−
x
1
]，则
φ(
x
1
)＝−
e
a
x
1
x
2
−
x
1
[
e
a(
x
2
−
x
1
)
−a(
x
2
−
x
1
)−1]
，
φ(
x
2
)＝
e
a
x
2
x
2
−
x
1
[
e
a(
x
1
−
x
2
)
−a(
x
1
−
x
2
)−1]
，构建函数F（t）=et-t-1，从而可证明φ（x1）＜0，φ（x2）＞0，由此即可得到存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立．
（1）若a＜0，则对一切x＞0，函数f（x）=eax-x＜1，这与题设矛盾，
∵a≠0，∴a＞0
∵f′（x）=aeax-1，令f′（x）=0，可得x＝
1
aln
1
a
令f′（x）＜0，可得x＜
1
aln
1
a，函数单调减；令f′（x）＞0，可得x＞
1
aln
1
a，函数单调增，
∴x＝
1
aln
1
a时，f（x）取最小值f(
1
aln
1
a)＝
1
a−
1
aln
1
a
∴对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，则[1/a−
1
aln
1
a≥1①
令g（t）=t-tlnt，则g′（t）=-lnt
当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减
∴t=1时，g（t）取最大值g（1）=1
∴当且仅当
1
a]=1，即a=1时，①成立
综上所述，a的取值集合为{1}；
（2）由题意知，k＝
eax2−eax1
x2−x1−1
令φ（x）=f′（x）-k=aeax−
eax2−eax1
x2−x1，则φ(x1)＝−
eax1
x2−x1[ea(x2−x1)−a(x2−x1)−1]
φ(x2)＝
eax2
x2−x1[ea(x1−x2)
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查构建新函数确定函数值的符号，从而使问题得解．
1年前
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