解题思路：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；
（2）g（x）＞f（x）恒有解，分类参数可得即b2＞3[
−
1
2
•
1
x
2
+
1
x
]有解，利用换元法和导数研究函数k（t）=
−
1
2
t
2
+t，
t∈[
1
3
，1]
的最值，即可求得结论．
（1）f′（x）=[1/ax−1−
1
a2+
1
ax]
=[1/ax][x2-（a+[1/a]）x+1]=[1/ax]（x-a）（x-[1/a]）
由题设知x＞0，
a-[1/a]=
(a+1)(a−1)
a
当a＞1时，a-[1/a]＞0即0＜[1/a]＜a，则f（x）在（0，[1/a]）和（a，+∞）上单增，在（ [1/a]，a）上单减
（2）由（1）知，a=2，1＜x＜3时，
当x=2时f（x）得到最小值为f（2）=−
3
2+
1
2ln2
∴1＜x≤3时，g（x）＞f（x）恒有解，需b2x2-3x+[1/2ln2＞−
3
2+
1
2ln2在1＜x＜3时有解
即b2＞3[−
1
2•
1
x2+
1
x]]有解，
令t=[1/x∈[
1
3，1]，k（t）=−
1
2t2+t，t∈[
1
3，1]，
k′（t）=1-t＞0，∴k（t） 在 t∈[
1
3，1]上单增
∴
5
6＝k(
1
3)≤k(t)＜k(1)＝
3
2]
∴需b2＞
5
6，即b ＜−
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 考查学生利用导数研究函数单调性的能力，理解函数恒成立取到的条件，考查应用知识分析解决问题的能力和运算能力，分离参数转化为求函数的最值是解题的关键，体现了转化的数学思想方法，属难题．