已知函数f(x)=x2+ax+b

2个回答

  • 解题思路:(1)由已知中对任意的实数x都有f (1+x)=f (1-x) 成立,结合函数的对称性,我们易得到函数的图象的对称轴为直线x=1,结合二次函数的性质我们可以构造一个关于a的方程,解方程即可求出实数 a的值;

    (2)根据偶函数的定义,我们可得f(-x)=f(x)恒成立,代入即可构造一个关于实数a的方程,解方程即可求出实数 a的值;

    (3)f(x)在[1,+∞)内递增,则表示区间[1,+∞)在函数对称轴的右侧,由此可以构造一个关于a的不等式,解不等式即可求出实数 a的范围.

    (1)∵f(1+x)=f(1-x)

    ∴y=f(x)的图象关于直线x=1对称

    ∴−

    a

    2=1即a=-2

    (2)∵f(x)为偶函数,

    ∴f(-x)=f(x)对于一切实数x恒成立

    即(-x)2+a(-x)+b=x2+ax+b

    ∴2ax=0

    ∴a=0

    (3)∵f(x)在[1,+∞)内递增

    ∴−

    a

    2≤1

    ∴a≥-2

    即实数a的范围为[-2,+∞)

    点评:

    本题考点: 二次函数的性质.

    考点点评: 本题考查的知识点是二次函数的性质,其中根据二次函数的图象和性质构造出关于a的方程(或不等式是解答本题的关键).