Question

1.求此向量组的秩及一个极大线性无关组α1=[2,1,3,-1]^T α2=[3,-1,2,0]^T α3=[1,3,4

Answer 1

1.楼上的答案没问题的.

2α1-α3=α2,3α1-2α3=α4,显然 α1,α3 线性无关,因此该向量组的秩就是2,一个极大线性无关组是 α1 和 α3.

一般的方法还是写成矩阵,然后用初等变换即可.

2.

因为次数低于4的多项式全体组成的线性空间(就是题中的P[x]4)的一组基为

1,x,x^2,x^3,而由α1=1+x,α2=x+x²,α3=1+x^3,α4=2+2x+x²+x^3 可知

(α1,α2,α3,α4)'=A*(1,x,x^2,x^3)'.

其中(α1,α2,α3,α4)'表示行向量(α1,α2,α3,α4)的转置,即为列向量.而矩阵

1 1 0 0

A= 0 1 1 0

1 0 0 1

2 2 1 1

因此要判断(α1,α2,α3,α4)是否是一组基,只需判断矩阵A是否可逆即可,亦即只需计算A的行列式 |A| 即可.楼主自己计算一下,这个行列式是0,即A不可逆,因此(α1,α2,α3,α4)不是P[x]4的一组基.

注：上面的是较为一般的方法,这类题目都可以这样做.但本题中,经过观察可知 α1+α2+α3 = α4.即α4可用α1,α2,α3线性表出,所以α1,α2,α3,α4必不是一组基,因为基中线性无关向量的个数是4,这是本题中比较特别的一点,这样做较为简单.