Question

不等式证明,a>0,b>0,求证2^(a+b)>=[（1+a/b)^b][(1+b/a)^a]

Answer 1

即证b^b*a^a*2^(a+b)>=(a+b)^b*(a+b)^a=(a+b)^(a+b)

即证a^a*b^b>=[(a+b)/2]^(a+b)

两边取对数即证alna+blnb>=(a+b)ln[(a+b)/2]

构造函数g(x)=xlnx

即要证明g(a)+g(b)>=2g[(a+b)/2]

考虑g(x)的凹凸性.g''(x)=1/x>0所以g(x)下凸,根据下凸函数的性质有

[g(a)+g(b)]/2>=g[(a+b)/2]于是要证的式子成立.

于是2^(a+b)>=[（1+a/b)^b][(1+b/a)^a]