Question

已知f（x）=ae2x+（a+1）x+1，a＜-1对任意x1，x2∈R，有f（x1）-f（x2）≥4（e x1

Answer 1

解题思路：对∀x₁，x₂∈R，有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|e^x₁-e^x₂|，两边同除以|x₁-x₂|，等价于|f′（x）|≥4e^x，由此可求a的取值范围．

∵对∀x₁，x₂∈R，有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|e^x₁-e^x₂|，

∴两边同除以|x₁-x₂|，可得|f′（x）|≥4e^x，

∴|2ae^2x+（a+1）|≥4e^x，

∵a＜-1

∴2ae^2x+4e^x+（a+1）≤0

令e^x=t（t＞0），则2at²+4t+（a+1）≤0

∵a＜-1，∴0＜-[1/a]＜1，a+1＜0

∴△=16-8a（a+1）≤0

∴（a+2）（a-1）≥0

∴a≥1或a≤-2．

∵a＜-1，

∴a≤-2．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查导数概念，考查恒成立问题，属于中档题．