Question

已知函数f（x）=（x+1）ekx，（k为常数，k≠0）．

Answer 1

解题思路：（I）当k=1时，函数f（x）=（x+1）e^x，f′（x）=（x+2）e^x，再研究其单调性即可得出．

（II）f′（x）=（kx+k+1）e^kx．对k分类讨论：当k=0时，当k＞0时，当k＜0时，分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出单调区间．

（III）由（II）可得：f′（x）=（kx+k+1）e^kx．函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数⇔f′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，但是f′（x）不恒等于0．g（x）=kx+k+1≥0在区间（0，1）上恒成立，但是不恒等于0．利用一次函数的单调性即可得出．

（I）当k=1时，函数f（x）=（x+1）e^x，f′（x）=（x+2）e^x，

令f′（x）=0，解得x=-2．

令f′（x）＞0，解得x＞-2，∴函数f（x）在区间（-2，+∞）上单调递增；

令f′（x）＜0，解得x＜-2，∴函数f（x）在区间（-∞，-2）上单调递减．

∴当x=-2时，函数f（x）取得极小值，f（-2）=−

1

e2．

（II）f′（x）=（kx+k+1）e^kx．

①当k=0时，f′（x）=1＞0，函数f（x）单调递增；

②当k＞0时，令f′（x）=k(x+

k+1

k)e^kx=0，解得x=-[k+1/k]．当x＞−

k+1

k时，

f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＜−

k+1

k时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．

③当k＜0时，令f′（x）=k(x+

k+1

k)e^kx=0，解得x=-[k+1/k]．当x＜−

k+1

k时，

f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＞−

k+1

k时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．

综上可得：①当k=0时，函数f（x）单调递增；

②当k＞0时，当x＞−

k+1

k时，函数f（x）单调递增；当x＜−

k+1

k时，函数f（x）单调递减；

③当k＜0时，当x＜−

k+1

k时，函数f（x）单调递增；当x＞−

k+1

k时，函数f（x）单调递减．

（III）由（II）可得：f′（x）=（kx+k+1）e^kx．

函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数⇔f′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，但是f′（x）不恒等于0．

∴g（x）=kx+k+1≥0在区间（0，1）上恒成立，但是不恒等于0．

∴g（x）=

g(0)≥0

g(1)≥0，即

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．