Question

如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA=CD，点E在线段CA上，且满足DE=AB，连接DE并延长交AB于点F．

Answer 1

（1）证明：在Rt△ABC和Rt△DCE中，

CA=CD

DE=AB

∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL）

∴∠BAC=∠EDC（全等三角形的对应角相等），

∵∠AEF=∠DEC（对顶角相等），∠EDC+∠DEC=90°（直角三角形两锐角互余），

∴∠BAC+∠AEF=∠EDC+∠DEC=90°．

∴∠AFE=180°-（∠BAC+∠AEF）=90°．

∴DE⊥AB．

（2）由题意知：

S _△ABD=S _△BCE+S _△ACD+S _△ABE=

1

2 a ²+

1

2 b ²+

1

2 cx，

∵ S △ABD =

1

2 c(c+x) ，

∴

1

2 a 2 +

1

2 b 2 +

1

2 cx=

1

2 c(c+x) ．

∴a ²+b ²=c ²．