这个问题大致上还是清楚的,只是有三点疑问.
1.没写明X是什么,可能性比较大的是X为R³中的一个点.
如果把X换为R³的其它子集,问题的结果需要代数拓扑里的概念.
2.没说明F和g的可微性.
比较省事的要求是F,g都光滑(无穷次可微),降低可微性会带来非常技术性的问题.
虽然也可以讨论,但我想不会是题目的本意.
3.不清楚最后一个符号是什么.
最可能的是问号"?",即这是一个计算题.
按照最省事的理解,问题的严格叙述是这样:
设X是R³中的一个单点集,定义线性空间:
V = {F:R³X → R³ | F光滑,且∇×F = 0},
W = {F:R³X → R³ | 存在R³X上的光滑函数g,使F = ∇g},
求dim(V/W) = (注:由∇×∇g = 0,可知W是V的子空间,由此可讨论商空间V/W.)
答案是0,即V = W.
换句话说就是:R³X上旋度为0的光滑向量场一定是某个光滑函数的梯度场.
证明大意如下:
任意取定R³X中一点p.对R³X中任意一点x,取L为R³X中由p到x的光滑曲线.
考虑F沿L的第二类曲线积分∫{L} F,可以证明其不依赖L的选取:
若L1,L2是p到x的两条光滑曲线,不妨设二者没有端点以外的公共点.
考虑闭曲线C:由p经L1到x再反向经L2回到p,则C是R³X中分段光滑的简单闭曲线,
存在R³X中的曲面D以C为边界.
由Stokes公式,∫{C} F = ∫{D} ∇×F = 0,即得∫{L1} F = ∫{L2} F.
若L1与L2相交(有端点以外的公共点),可取L3与L1,L2都不相交,
可得∫{L1} F = ∫{L3} F = ∫{L2} F,即∫{L} F不依赖L的选取.
取g(x) = ∫{L} F,可以证明g(x)光滑,且∇g = F (细节略).
即F是光滑函数g的梯度场.
这个问题有比较深刻的背景,即de Rham上同调理论,不过就说来话长了.