Question

已知由正数组成的数列an前n项和为Sn

Answer 1

因为：n为Sn与1/an的等比中项,所以：n²=Sn/an,Sn=n²an;

S(n-1)=(n-1)²a(n-1);两式相减得：Sn-S(n-1)=n²an-(n-1)²a(n-1);

所以;an=n²an-(n-1)²a(n-1),移项化简得：(n+1)an=(n-1)a(n-1);

an/a(n-1)=(n-1)/(n+1);

因为：an=a1*(a2/a1)*（a3/a2）*(a4/a3)*...*(an-1/an-2)*（an/an-1）

=(1/2)*(1/3)*(2/4)*(3/5)*(4/6)*...*(n-2/n)*(n-1/n+1)=1/[n(n+1)];

所以：an=1/[n(n+1)]=(1/n)-(1/n+1);

Sn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+...+(1/n-1/n+1)=1-1/(n+1);

limSn=lim[1-1/(n+1)]=1.