已知由正数组成的数列an前n项和为Sn

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  • 因为:n为Sn与1/an的等比中项,所以:n²=Sn/an,Sn=n²an;

    S(n-1)=(n-1)²a(n-1);两式相减得:Sn-S(n-1)=n²an-(n-1)²a(n-1);

    所以;an=n²an-(n-1)²a(n-1),移项化简得:(n+1)an=(n-1)a(n-1);

    an/a(n-1)=(n-1)/(n+1);

    因为:an=a1*(a2/a1)*(a3/a2)*(a4/a3)*...*(an-1/an-2)*(an/an-1)

    =(1/2)*(1/3)*(2/4)*(3/5)*(4/6)*...*(n-2/n)*(n-1/n+1)=1/[n(n+1)];

    所以:an=1/[n(n+1)]=(1/n)-(1/n+1);

    Sn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+...+(1/n-1/n+1)=1-1/(n+1);

    limSn=lim[1-1/(n+1)]=1.