如图,在矩形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,P、Q分别是BM、DN的中点.

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  • 解题思路:(1)根据矩形的性质和中点的定义,利用SAS判定△MBA≌△NDC;

    (2)四边形MPNQ是菱形,连接AN,有(1)可得到BM=DN,再有中点得到PM=NQ,再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN,从而证明四边形MPNQ是平行四边形,利用三角形中位线的性质可得:MP=MQ,进而证明四边形MQNP是菱形.

    证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,

    ∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=90°,

    ∵在矩形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,

    ∴AM=[1/2]AD,CN=[1/2]BC,

    ∴AM=CN,

    在△MAB和△NDC中,

    AB=CD

    ∠A=∠C=90°

    AM=CN,

    ∴△MBA≌△NDC(SAS);

    (2)四边形MPNQ是菱形.

    理由如下:连接AP,MN,

    则四边形ABNM是矩形,

    ∵AN和BM互相平分,

    则A,P,N在同一条直线上,

    易证:△ABN≌△BAM,

    ∴AN=BM,

    ∵△MAB≌△NDC,

    ∴BM=DN,

    ∵P、Q分别是BM、DN的中点,

    ∴PM=NQ,

    DM=BN

    DQ=BP

    ∠MDQ=∠NBP,

    ∴△MQD≌△NPB(SAS).

    ∴四边形MPNQ是平行四边形,

    ∵M是AD中点,Q是DN中点,

    ∴MQ=[1/2]AN,

    ∴MQ=[1/2]BM,

    ∵MP=[1/2]BM,

    ∴MP=MQ,

    ∴平行四边形MQNP是菱形.

    点评:

    本题考点: 矩形的性质;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;菱形的判定.

    考点点评: 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和全等三角形的性质、三角形中位线定理以及平行四边形的判定和菱形的判定方法,属于基础题目.