Question

已知函数f（x）=ax 2 +2x+c（a、c∈N * ）满足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．

Answer 1

（1）∵f（1）=a+2+c=5，

∴c=3-a．①

又∵6＜f（2）＜11，即6＜4a+c+4＜11，②

将①式代入②式，得-

1

3 ＜a＜

4

3 ，又∵a、c∈N ^*，∴a=1，c=2．

（2）由（1）知f（x）=x ²+2x+2．

证明：∵x∈[

1

2 ，

3

2 ]，∴不等式f（x）-2mx≤1恒成立⇔2（1-m）≤-（x+

1

x ）在[

1

2 ，

3

2 ]上恒成立．

易知[-（x+

1

x ）] _min=-

5

2 ，

故只需2（1-m）≤-

5

2 即可．

解得m≥

9

4 ．