(2014•贵阳模拟)如图,动圆D过定点A(0,2),圆心D在抛物线x2=4y上运动,MN为圆D在x轴上截得的弦,当圆心

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  • 解题思路:(Ⅰ)设圆心(a,

    a

    2

    4

    ),则圆为(x-a)2+(y-

    a

    2

    4

    2=a2+(2-

    a

    2

    4

    2,由此能证明|MN|=4.

    (Ⅱ)令∠MAN=θ,由余弦定理,得16=m2+n2-2mncosθ,又由S△AMN=[1/2mnsinθ−

    1

    2

    |MN|

    y

    A

    =4,得

    16

    mn

    =2sinθ

    ,由此能求出

    n

    m]+[m/n]的取值范围.

    (Ⅰ)证明:设圆心(a,

    a2

    4),

    则圆为(x-a)2+(y-

    a2

    4)2=a2+(2-

    a2

    4)2

    当y=0时,x=a±2,

    ∵MN为圆D在x轴上截得的弦,

    ∴|MN|=4.

    (Ⅱ)令∠MAN=θ,

    由余弦定理,得16=m2+n2-2mncosθ,

    又由S△AMN=[1/2mnsinθ−

    1

    2|MN|yA

    =

    1

    2×4×2=4,

    16

    mn=2sinθ,

    m

    n+

    n

    m]=2(sinθ+cosθ)

    =2

    2sin(θ+

    π

    4),

    又[m/n+

    n

    m]≥2

    ∴2≤[n/m]+[m/n]≤2

    2,

    ∴[n/m]+[m/n]的取值范围是[2,2

    2].

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.

    考点点评: 本题考查圆的弦长为定值的证明,考查代数式的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.

    1年前

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