Question

数列{an}中，a1＝52，an+1＝a2n2(an−1)（n∈N+），用数学归纳法证明：an＞2(n∈N+)．

Answer 1

解题思路：（1）当n=1时，易求a₁=[5/2]＞2，不等式成立；（2）假设当n=k时不等式成立，即a_k＞2（k∈N^*），去推证当n=k+1时，a_k+1＞2即可．

证明：（1）当n=1时，a₁=[5/2]＞2，不等式成立．

（2）假设当n=k时不等式成立，即a_k＞2（k∈N^*），

则当n=k+1时，

a_k+1-2=

a2k

2(ak−1)-2=

(ak−2)2

2(ak−1)＞0，

∴a_k+1＞2．

∴当n=k+1时，不等式也成立

综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立．

点评：

本题考点： 数学归纳法；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列递推式，着重考查数学归纳法的应用，考查推理、论证能力，属于中档题．