Question

如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA=4∶3，点P在半圆弧AB上运动（不与A

Answer 1

（1）∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

又∵PC⊥CD，

∴∠PCD=90°，而∠CAB=∠CPD，

∴△ABC∽△PCD，

∴

，

∴AC·CD=PC·BC；

（2）当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E，

∵P是AB中点，

∴∠PCB=45°，CE=BE=

BC=2

，

又∠CAB=∠CPB，

∴tan∠CPB=tan∠CAB=

，

∴PE=

，

而PC=PE+EC=

，

由（1）得CD=

PC=

；

（3）当点P在AB上运动时，S _△PCD=

PC·CD，

由（1）可知，CD=

PC，

∴S _△PCD=

PC ²，

故PC最大时，S _△PCD取得最大值；

而PC为直径时最大，

∴S _△PCD的最大值S=

×5 ²=

。