楼主应学会一题多解.楼上的两种解法都不错,分别代表了“数形结合”（其实就是几何法）和“参数法”（就是代数法）.
本人再给你介绍一种解法,也是几何法.
设P（x,y）是圆(x-1)^2+(y+2)^2=4上任一点,则
3x-y
=(3x-y)+[(x-1)^2+(y+2)^2]-4
=x^2+y^2+x+3y+1
=(x+1/2)^2+(y+3/2)^2-3/2
t=(x+1/2)^2+(y+3/2)^2的几何意义是：圆上一点P到点(-1/2,-3/2)距离的平方.
由于圆心 (1,-2) 与点（-1/2,-3/2）的距离为 d=√[(1+1/2)^2+(-2+3/2)^2]=√10/2
且圆的半径为 r=2
所以 t最小值为 (d-r)^2=(√10/2-2)^2=13/2-2√10,
因此,3x-y的最小值为 t-3/2=13/2-2√10-3/2=5-2√10.