Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且a 1 =1，a 2 =3，2S n ﹣（n+1）a n =A n +B（其

Answer 1

（1）∵a ₁=1，a ₂=3，2S _n﹣（n+1）a _n=A _n+B（n∈N*），

分别取n=1和n=2，

得

，

即

，

解得

．

（2）由（1）知，2S _n﹣（n+1）a _n=﹣n+1（n∈N*），

∴2S _n+1﹣（n+2）a _n+1=﹣n，

得2a _n+1﹣（n+2）a _n+1+（n+1）a _n=﹣1，即na _n+1﹣（n+1）a _n=1．

两边同除以n（n+1），

可化为

．

数列

是以

为首项，公差为零的等差数列，

于是

．

∴数列{a _n}的通项公式为a _n=2n﹣1（n∈N*）．

（3）由（2）知，a _n=2n﹣1（n∈N*）．

又8a _n+1﹣a _n ²＜k，即8（2n+1）﹣（2n﹣1） ²＜k，

进一步可化为

．

当n=2或3时，﹣4

的最大值为31，

因此，只要k＞31即满足要求，

又k是正整数，k的最小值为32．