第一个问题：
过P作PQ⊥AD交AD于Q.
∵AB∥CD、∠B＝90°,∴∠C＝90°.
∵P在∠BAQ的平分线上,又PB⊥AB、PQ⊥AQ,∴由角平分线性质,有：PB＝PQ.······①
∵P在∠CDQ的平分线上,又BC⊥DC、PQ⊥DQ,∴由角平分线性质,有：PC＝PQ.······②
由①、②,得：PB＝PC.
第二个问题：
延长MB至E,使BE＝QN.
∵∠BAQ＝60°、∠ABP＝∠AQP＝90°,∴∠BPQ＝360°－∠BAQ－∠ABP－∠AQP＝120°.
∵∠MPN＝60°、∠BPQ＝120°,∴∠BPM＋∠QPN＝60°.
∵PB＝PQ、BE＝QN、∠PBE＝∠PQN＝90°,∴△PBE≌△PQN,∴PE＝PN、∠BPE＝∠QPN.
由∠BPM＋∠QPN＝60°、∠BPE＝∠QPN,得：∠BPM＋∠BPE＝60°,∴∠MPE＝60°.
∵PB＝PB、PE＝PN、∠MPE＝∠MPN＝60°,∴△MPE≌△MPN,∴ME＝MN,
∴BM＋BE＝MN,∴BM＋QN＝MN,∴AM＋AN＋MN＝AM＋AN＋BM＋QN＝AB＋AQ.
∴△AMN的周长＝AB＋AQ.
∵AB∥CD、∠BAQ＝60°,∴∠CDQ＝120°,又PD平分∠CDQ,∴∠PDC＝60°.
∵∠PDC＝60°、∠C＝90°、PD＝2,∴PC＝√3,∴PB＝PQ＝√3.
∵∠BAQ＝60°、PA平分∠BAQ,∴∠PAB＝∠PAQ＝30°.
∵∠PAB＝∠PAQ＝30°、∠B＝∠AQP＝90°、PB＝PQ＝√3,∴AB＝AQ＝3.
∴△AMN的周长＝AB＋AQ＝6.