已知A、B、C、D四点共圆,C、D、E、F四点共圆,A、B、E、F四点共圆

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  • 郭敦顒回答:

    若A、B、C、D四点共圆,C、D、E、F四点共圆,A、B、E、F四点共圆

    在A、B、C、D四点共圆中,若直线AB与CD不相交则AB∥CD,在C、D、E、F四点共圆中,若EF与CD不平行,则EF与CD相交,

    连EC交AB或其延长线于K,连FD交AB或其延长线于P,则

    ∠EKP=∠ECD,∠FPK=∠FDC,∴ K、P、E、F四点共圆,

    而K异于A,P异于B,∵AB、CD、EF它们的中点不共线(若共线则CD∥EF),

    既然K、P、E、F四点共圆,那么A、B、E、F四点不共圆,这与题设条件矛盾,

    ∴当AB∥CD时,EF与CD不平行是不可能的,于是EF∥CD

    ∴AB∥CD∥EF.

    在A、B、E、F四点共圆中,AB与EF相交于P,则CD与EF不平行,在C、D、E、F四点共圆中,CD与EF也相交于P,

    A、B、C、D四点共圆的圆心为O,C、D、E、F四点共圆的圆心为Q,连OQ,则

    OQ⊥CD中点KB,取AB中点M,EF中点N,连MO、NQ并延长相交于R,则R是A、B、E、F四点共圆的圆心,那么

    P、R、M、N四点共圆,这是在AB与EF相交于P,CD与EF也相交于P的情况下得出的结论,否则,不可能.所以,AB与EF相交于P,CD与EF也相交于P.

    上述证明似乎不尽完美,容再思考.