Question

已知f（x）=log2（4x+1）+2kx（x∈R）是偶函数．

Answer 1

解题思路：（1）根据函数f（x）是偶函数建立等式关系，化简可得实数k的值；

要使方程f（x）-m=0有解，转化成求函数的值域，将m分离出来，利用基本不等式，即可求实数m的取值范围．

（1）∵函数f（x）=log₂（4^x+1）+2kx（k∈R）是偶函数

∴f（-x）=log₂（4^-x+1）-2kx=f（x）=log₂（4^x+1）+2kx恒成立

即log₂（4^x+1）-2x-2kx=log₂（4^x+1）+2kx恒成立

解得k=-[1/2]；

（2）由（1）知，f（x）=log₂（4^x+1）-x

∴f（x）-m=0等价于m=log₂（4^x+1）-x

∵log₂（4^x+1）-x=log2(2x+

1

2x)≥1

∴要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范围为m≥1．

点评：

本题考点： 函数最值的应用；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数，其中根据偶函数的定义求出k值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键．